BARISAN DIVERGEN

BARISAN DIVERGEN

Teorema 1.17 (Kriteria Divergen)
Jika barisan bilangan berikut real X = (X_n) memenuhi salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.

X mempunyai dua barisan bagian konvergen X’ = (X_n) dan X’’ = (X_nk) dengan limit keduannya tidak sama.
X tidak terbatas

Contoh: Tunjukan bahwa barisan
(1 , (1 )/2, 3 , 1/4, …….) divergen
Penyelesaian.
Andaikan barisan di atas adalah Y = y_n, dengan y_n = 1/n jika n genap dan y_n = n jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. jadi barisan Y = y_n divergen.

Definisi barisan Divergen seperti yang telah dibahas sebelumnya, dengan menuntut adanya x di dalam R, yang menjadi nilai limit dari barisan itu.
3.6.1 Definisi Barisan Divergen
Misalkan ( ) barisan bilangan real
( i ) Kita katakan bahwa ( ) menuju ke + dan tulis lim ( ) = + , jika untuk setiap Terdapat K ( ) sedemikan hingga jika n K ( ), maka ( ) >
( ii ) Kita katakan bahwa ( )menuju ke - dan tulis lim ( ) = - , jika untuk setiap terdapat K ( ) sedemikan hingga jika n K ( ), maka ( ) >
Kita katakan bahwa ( ) benar berbeda jika seandainya kita mempunyai salah satu lim = atau lim =


3.6.2 Contoh
a) Lim( n ) = +
kenyataannya, jika diberikan, misal K ( ) menjadi angka alami maka K ( ) >
b) Lim(n ) = +
jika K ( ) adalah angka yang nyata maka K ( ) > dan jika n K ( ) kemudian kita mendapatkan n n >
c) jika c > 1, maka lim(c ) = +
ambil c = 1 + b, dimana b > 0. Jika diberikan, misalnya K menjadi angka yang alami maka K > jika ini mengikuti ketidaksamaan bernoullis bahwa

oleh karena itu lim
Barisan monoton sangat erat kaitannya dengan barisan konvergen. Kita telah lihat pada konveregensi barisan monoton teorema 3.3.2 bahwa barisan monoton adalah konvergen jika dan hanya jika dibatasi. Hasil berikutnya adalah reformulasi hasil itu.
3.6.3 Teorema
Sebuah barisan monoton dari barisan bilangan real benar dikatakan divergen jika dan hanya jika barisannya tak terbatas.
Jika adalah barisan meningkat tak terbatas, maka lim =
Jika adalah barisan menurun tak terbatas, maka lim =
Bukti :
Misalkan adalah barisan meningkat. Kita tahu bahwa , jika dibatasi maka itu konvergen jika adalah tak terbatas, maka untuk setiap , terdapat seperti bahwa tapi karena meningkat ,kita memiliki untuk semua sejak adalah berubah – ubah, diikuti oleh lim =
Bagian b dibuktikan dengan cara yang sama
Diikuti “ teorema perbandingan’ berikut ini sering digunakan dalam menunjukkan bahwa barisan adalah benar berbeda( divergen)
[kenyataannya, secara mutlak digunakan dalam contoh 3.6.2(c) ]
3.6.4 teorema
Misal dan menjadi dua barisan bilangan real dan anggaplah bahwa
(1) untuk semua
Jika lim = maka lim =
Jika lim = maka lim =
Bukti :
Jika lim = dan jika diberikan, maka terdapat bilangan asli K sedemikian hingga jika maka mengingat (1) mengikuti bahwa untuk semua sejak adalah berubah – ubah, diikuti oleh lim =
Bukti sama dengan bagian a.
Keterangan :
Teorema 3.6.4 tetap benar jika kondisi (1) adalah akhirnya benar ; ada, jika terdapat untuk semua
Jika kondisi (1) dari teorema 3.6.4 memegang dan jika lim = tidak mengikuti bahwa lim = demikian pula, jika (1) memegang dan jika lim = , itu tidak berarti bahwa lim = , dalam menggunakan teorema 3.6.4 untuk menunjukkan bahwa urutan yang cenderung ( masing - masing ) kita perlu menunjukkan bahwa urutan yang [akibatnya lebih besar masing – masing] dari atau sama dengan persyaratan yang sesuai urutan yang diketahui cenderung [ masing – masing ]
Karena kadang-kadang semakin sulit untuk membentuk suatu ketimpangan seperti, batas- batas “berikut teorema perbandingan” sering lebih nyaman digunakan dari pada teorema3.6.4
3.6.5 Teorema
Diberikan barisan bilangan real dan menjadi 2 urutan bilangan real positif dan untuk setiap ,diperoleh
lim =
Maka lim = jika dan hanya jika lim =
Bukti :
Diketahui :
Lim (X_n/Y_n ) = L
artinya terdapat K ϵ N sedemikian hingga untuk setiap n≥K berlaku:

1/2 L < X_n/Y_n < 1/2 L

Oleh karena itu diperoleh
y_n (1/2 L) < X_n < y_n (1/2 L)
untuk semua n≥K. sehingga teorema terbukti.